（?大庆三模） 导热性能良好的气缸和活塞将一定质量的理想气体密封在气缸内（活塞与汽缸壁之间无摩擦（(•大庆三模)已知函数f(x)=lnx-mx+m，m∈R.(Ⅰ)求函数f...）

（2014?大庆三模） 导热性能良好的气缸和活塞将一定质量的理想气体密封在气缸内（活塞与汽缸壁之间无摩擦

①对活塞和水整体，由平衡条件有：
ps=mg+（p ₀ +p _水 ）s
又因有：p _水 =ρgh
解得：p=p ₀ +ρgh+

mg

s

=1.0×10 ⁵ +1.0×10 ³ ×10×0.5+

10

5×1 0 ?4

=1.25×10 ⁵ Pa
②由于之后水的高度不变，故气缸内气体发生等压变化，由盖吕-萨克定律有：

V 1

V 2

=

T 1

T 2

即：

Hs

(H+△h)s

=

273+ t 1

273+ t 2

代入得：

0.8

0.8+△h

=

273+27

273+51

解得：△h=6.4×10 ^-2 m
答：①图示状态气缸内的压强为1.25×10 ⁵ Pa．
②假设之后室内温度由27℃升到51℃，活塞将上升的距离是6.4×10 ^-2 m．

(2014•大庆三模)已知函数f(x)=lnx-mx+m，m∈R.(Ⅰ)求函数f...

解答:解:(
I)定义域为(0，∞)，f′(x)=
1
x
-m=
1-mx
x
，
当m≤0时，f′(x)=
1-mx
x
＞0(x＞0)，∴f(x)在(0，+∞)上单调递增;
当m＞0时，令f′(x)=
1-mx
x
＞0，得0＜x＜
1
m
，∴f(x)在(0，
1
m
)上单调递增;
令f′(x)=
1-mx
x
＜0，得x＞
1
m
，
∴f(x)在(
1
m
，+∞)上单调递减.
∴当m≤0时，f(x)的单调增区间是(0，+∞)，无单调减区间;
当m＞0时，f(x)的单调增区间是(0，
1
m
)，单调减区间是(
1
m
，+∞).
(
II)由(
I)知，当m≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增，
且f(e)=lne-me+m=1+m(1-e)＞0，
∴f(x)≤0在(0，+∞)上不恒成立;
当m＞0时，由(
I)得f(x)max=f(
1
m
)=-lnm-1+m，
若使f(x)≤0在(0，+∞)上恒成立，只需-lnm-1+m≤0，
令g(m)=-lnm-1+m，g′(m)=
m-1
m
，
∴当m∈(0，1)时，g'(m)＜0，
当m∈(1，+∞)时，g'(m)＞0，
∴g(m)min=g(1)=0，∴只有m=1符合题意，
综上得，m=1.
(
III)由(
II)知m=1，
∴
f(b)-f(a)
b-a
=
lnb-lna
b-a
-1=
1
a
•
ln
b
a
b
a
-1
-1，
∵b＞a＞0，∴
b
a
＞1，由(
II)得，当x∈(0，+∞)时，lnx≤x-1，
∴ln
b
a
≤
b
a
-1，
∵
b
a
＞1，∴
ln
b
a
b
a
-1
≤1，
∵
1
a
＞0，∴
1
a
•
ln
b
a
b
a
-1
-1≤
1
a
-1，
∴
f(b)-f(a)
b-a
≤
1
a
-1.

（2014?大庆三模）如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m和3m的三个木块，其中质量为2m和3m的木块间

A、质量为2m的木块受到重力、质量为m的木块的压力、m对其作用的向后的摩擦力，轻绳的拉力、地面的支持力五个力的作用，故A错误；
B、对整体，由牛顿第二定律可知，a=

F

6m

；隔离后面的叠加体，由牛顿第二定律可知，轻绳中拉力为F′=3ma=

F

2

．
由此可知，当F逐渐增大到2T ₀ 时，轻绳中拉力等于T ₀ ，轻绳才刚好被拉断，选项B错误；C正确；
D、轻绳刚要被拉断时，物块加速度a′=

T 0

3m

，质量为m和2m的木块间的摩擦力为f=ma′=

T 0

3

．故D错误．
故选：C． 大学科目网